Divisibilité par 13 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(8^{n+3}-5^{3n+1}\) est divisible par \(13\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

D'une part : \(8^{n+3}=8^n \times 8^3=8^n \times 512 \equiv 8^n \times 5 \ [13]\)  
car \(512 \equiv 13 \times 39+5 \equiv 5 \ [13]\) .

D'autre part :  \(5^{3n+1}=(5^3)^n \times 5 =125^n \times 5 \equiv 8^n \times 5 \ [13]\)
car \(125 \equiv 13 \times 9+8 \equiv 8 \ [13]\) .

Par conséquent : \(8^{n+3}-5^{3n+1} \equiv 8^n \times 5-8^n \times 5 \equiv 0 \ [13]\)  
donc \(8^{n+3}-5^{3n+1}\) est divisible par \(13\) .